最大の違いはオープンかクローズドかです。
グループは最低Facebookをやっている会員でないと閲覧することができません。
一方でFacebookページは完全オープンで検索エンジンにもインデックスされます。

分かりやすくmixiで説明すると、グループはコミュニティ、Facebookページはmixiページに当たります。
mixiの場合は目に見えてデザインからして違うのでよく分かりますがFacebookの場合はFacebookページのウォールとグループの掲示板が見た目全く同じなので今ひとつ区別がつかないんですよね。
加えてイベントもデザインが同じです。

細かいところを見ていくとグループ（及びイベント）は作成時にFacebook内の友達の中から参加者を招待することができるようになっています。
一方でFacebookページは作成後にFacebook会員に限らずメールアドレスや他インフラを利用してページを作成した旨を伝えることが可能となっています。
また、Facebookページは一部サイトデザインのカスタマイズもできるようになっています。
□ Facebookページの作り方 2012年1月版 | Webクリエイターボックス

なお、グループとイベントの違いに関してはグループにイベント詳細表示（日時等）機能と参加、不参加機能が加わったのがイベントと考えてしまっていいでしょう。
一方で、公開範囲設定機能はグループのみの機能でイベントはFacebookページと同様完全オープンとなるという違いがあります。

以上より、より深いつながりを構築するためのツールとして使うならグループ機能、より広いつながりを求めるのならばFacebookページという使い分けが考えられます。
一般的にはカスタマー（消費者）向けがFacebookページ、ビジネスパートナー（企業間でのやりとり）向けがグループ機能と言った感じでしょうか。

以下、分かりやすく表でまとめてみました。

	Facebookページ	グループ	イベント
公開範囲	完全オープン （Facebookアカウント不必要）	Facebook会員限定で 「オープン」 「一部オープン」 「グループメンバーのみ」 の3段階の設定が可能	完全オープン （Facebookアカウント不必要）
招待 （告知）	作成後、 他インフラと連携させて可能	作成時、 Facebook会員の中から選択	作成時、 Facebook会員の中から選択
投稿	Facebook会員全員or管理人	グループメンバーのみ	Facebook会員全員or招待者
検索サイト インデックス	可	不可	可
備考	ページのカスタマイズが可能 複数ページ持つことが可能 イベントの機能が付いている	クローズドなので 内々の話に向いている	イベントの詳細表示、及び、 参加、不参加の機能が 付いている